克罗内克积
线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
向量
标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量
矩阵与行列式
矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反對稱矩陣 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展開 · 克罗内克积
线性空间与线性变换
线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 線性無關 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查论编
数学上，克罗内克积（英語：Kronecker product）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。
尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以約翰·格奧爾格·澤哈斯（Johann Georg Zehfuss）名字命名为澤哈斯矩阵。
定义[编辑]
如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积
A
⊗
B
{\displaystyle A\otimes B}
则是一个 mp × nq 的分块矩阵
A
⊗
B
=
[
a
11
B
⋯
a
1
n
B
⋮
⋱
⋮
a
m
1
B
⋯
a
m
n
B
]
.
{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}
更具体地可表示为
A
⊗
B
=
[
a
11
b
11
a
11
b
12
⋯
a
11
b
1
q
⋯
⋯
a
1
n
b
11
a
1
n
b
12
⋯
a
1
n
b
1
q
a
11
b
21
a
11
b
22
⋯
a
11
b
2
q
⋯
⋯
a
1
n
b
21
a
1
n
b
22
⋯
a
1
n
b
2
q
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
11
b
p
1
a
11
b
p
2
⋯
a
11
b
p
q
⋯
⋯
a
1
n
b
p
1
a
1
n
b
p
2
⋯
a
1
n
b
p
q
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
a
m
1
b
11
a
m
1
b
12
⋯
a
m
1
b
1
q
⋯
⋯
a
m
n
b
11
a
m
n
b
12
⋯
a
m
n
b
1
q
a
m
1
b
21
a
m
1
b
22
⋯
a
m
1
b
2
q
⋯
⋯
a
m
n
b
21
a
m
n
b
22
⋯
a
m
n
b
2
q
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
b
p
1
a
m
1
b
p
2
⋯
a
m
1
b
p
q
⋯
⋯
a
m
n
b
p
1
a
m
n
b
p
2
⋯
a
m
n
b
p
q
]
.
{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}
我们可以更紧凑地写为
(
A
⊗
B
)
p
(
r
−
1
)
+
v
,
q
(
s
−
1
)
+
w
=
a
r
s
b
v
w
{\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}
例子[编辑]
[
1
2
3
1
]
⊗
[
0
3
2
1
]
=
[
1
⋅
0
1
⋅
3
2
⋅
0
2
⋅
3
1
⋅
2
1
⋅
1
2
⋅
2
2
⋅
1
3
⋅
0
3
⋅
3
1
⋅
0
1
⋅
3
3
⋅
2
3
⋅
1
1
⋅
2
1
⋅
1
]
=
[
0
3
0
6
2
1
4
2
0
9
0
3
6
3
2
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 3&2\cdot 0&2\cdot 3\\1\cdot 2&1\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 1\\3\cdot 0&3\cdot 3&1\cdot 0&1\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{bmatrix}}}
.
特性[编辑]
双线性和结合律[编辑]
克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：
A
⊗
(
B
+
C
)
=
A
⊗
B
+
A
⊗
C
(if
B
and
C
have the same size)
,
{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad {\mbox{(if }}B{\mbox{ and }}C{\mbox{ have the same size)}},}
(
A
+
B
)
⊗
C
=
A
⊗
C
+
B
⊗
C
(if
A
and
B
have the same size)
,
{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad {\mbox{(if }}A{\mbox{ and }}B{\mbox{ have the same size)}},}
(
k
A
)
⊗
B
=
A
⊗
(
k
B
)
=
k
(
A
⊗
B
)
,
{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}
(
A
⊗
B
)
⊗
C
=
A
⊗
(
B
⊗
C
)
,
{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}
其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。
克罗内克积不符合交换律：通常，A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。
A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得
A
⊗
B
=
P
(
B
⊗
A
)
Q
.
{\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}
如果A和B是方块矩阵，则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = QT。
混合乘积性质[编辑]
如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：
(
A
⊗
B
)
(
C
⊗
D
)
=
A
C
⊗
B
D
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {AC} \otimes \mathbf {BD} .}
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：
(
A
⊗
B
)
−
1
=
A
−
1
⊗
B
−
1
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}
克罗内克和[编辑]
如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，
I
k
{\displaystyle \mathbf {I} _{k}}
表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和
⊕
{\displaystyle \oplus }
为：
A
⊕
B
=
A
⊗
I
m
+
I
n
⊗
B
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}
谱[编辑]
假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1，......，λn为A的特征值，μ1，......，μq为B的特征值。那么A
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
B的特征值为：
λ
i
μ
j
,
i
=
1
,
…
,
n
,
j
=
1
,
…
,
q
.
{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}
于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：
tr
(
A
⊗
B
)
=
tr
A
tr
B
and
det
(
A
⊗
B
)
=
(
det
A
)
q
(
det
B
)
n
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\mbox{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{q}(\det \mathbf {B} )^{n}.}
奇异值[编辑]
如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有rA个非零的奇异值，它们是：
σ
A
,
i
,
i
=
1
,
…
,
r
A
.
{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}
类似地，设B的非零奇异值为：
σ
B
,
i
,
i
=
1
,
…
,
r
B
.
{\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}
那么克罗内克积A
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
B有rArB个非零奇异值，它们是：
σ
A
,
i
σ
B
,
j
,
i
=
1
,
…
,
r
A
,
j
=
1
,
…
,
r
B
.
{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}
由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：
rank
(
A
⊗
B
)
=
rank
A
rank
B
.
{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}
与抽象张量积的关系[编辑]
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y，那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y，关于V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的类似基。[1]
与图的乘积的关系[编辑]
两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见[2]第96个练习的答案。
转置[编辑]
克罗内克积转置运算符合分配律：
(
A
⊗
B
)
T
=
A
T
⊗
B
T
.
{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}
矩阵方程[编辑]
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB = C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
(
B
T
⊗
A
)
vec
(
X
)
=
vec
(
A
X
B
)
=
vec
(
C
)
.
{\displaystyle (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (AXB)=\operatorname {vec} (C).}
这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB = C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。(Horn & Johnson 1991，Lemma 4.3.1).
在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。
如果把X的行堆起来，形成列向量x，则
A
X
B
{\displaystyle AXB}
也可以写为
(
A
⊗
B
T
)
x
{\displaystyle (A\otimes B^{T})x}
(Jain 1989，2.8 block Matrices and Kronecker Products)。
參考文獻[编辑]
^ Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1
^ D. E. Knuth:
"Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 .
Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9 .
外部链接[编辑]
Kronecker product. PlanetMath.
MathWorld Matrix Direct Product （页面存档备份，存于互联网档案馆）